复杂度分析-下部

Author: haoransun
Wechat: SHR—97
学习来源：极客时间-算法之美，本人购买课程后依据图文讲解汇总成个人见解。

1 浅析最好、最坏、平均、均摊时间复杂度

     最好情况时间法则度(best case time complexity)
     最坏情况时间复杂度(worst case time complexity)
     平均情况时间复杂度(average case time complexity)
     均摊时间复杂度(amortized time complexity)

1.1 最好、最坏情况时间复杂度

// n 表示数组 array 的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) pos = i;
  }
  return pos;
}

     上述代码的功能：在一个无序的数组(array)中，查找变量x出现的位置。如果没有找到，就返回 -1。这段代码的时间复杂度就是 O(n)，其中，n代表数组的长度。
     然而，我们在数组中查找一个数据时，并不需要每次都把整个数据都遍历一遍，因为有可能中途找到提前结束循环了。因此，改写后的代码如下：

// n 表示数组 array 的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) {
       pos = i;
       break;
    }
  }
  return pos;
}

      这段优化后的代码，时间复杂度还是O(n)吗？很显然，暂时还解决不了这个问题。
     因为要查找的变量 x 可能出现在数组的任意位置。如果数组中第一个元素正好是要查找的变量 x，那就不需要遍历剩下的 n-1 个数据了，那时间复杂度就是 O(1)，但如果数组中不存在变量 x , 那就需要把整个数组都遍历一遍，时间复杂度就成了 O(n)，所以，不同情况下，这段代码的时间复杂度是不一样的。
     为了表示代码在不同情况下的不同时间复杂度，需要3种概念：最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度、平局情况时间复杂度。
     最好情况时间复杂度：最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。如：在最理想的情况下，要查找的变量 x 正好是数组的第一个元素，这种情况下的时间复杂度即是最好情况时间复杂度。
     同理，最坏情况时间复杂度，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。如：在数组中没有要查找的变量 x , 需要把整个数组都遍历一遍才行，这种情况下的时间复杂度即是最坏情况时间复杂度。

1.2 平均情况时间复杂度

     最好情况时间复杂度和最坏请款时间复杂度对应的都是极端情况下的代码复杂度，发生的概率其实并不大为了更好地表示平均情况下的复杂度，需要引入一个新的概念：平均情况时间复杂度，即平均时间复杂度。
     依然是上述代码，要查找变量 x 在数组中的位置，有 n+1 种情况：在数组的 0~n-1 位置中 和 不在数组中。把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，再除以 n+1，就可以得到需要遍历的元素个数的平均值，即（等数列求和公式）：

     在 大O 标记法中，可以省略掉系数、低阶、常量，所以，简化后的平均时间复杂度就是O(n)。
     这个结论是正确的，但是计算过程稍稍有点问题，因为有 n+1 种情况，出现的概率并不是一样的。
     要查找的变量 x, 要么在数组里，要不不在数组里。这两种情况对应的概率统计起来很麻烦，为了方便理解，假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2。另外，要查找的数据出现在 0n-1 这 n 个位置的概率是一样的，为 1/n，所以，根据概率乘法法则，要查找的数组出现在 0 n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。
     因此，前面推导的存在的最大问题就是，没有讲各种情况发生的概率考虑进去。如果我们把每种情况发生的概率考虑进去，那么平均时间复杂度的计算过程就变成饿了这样：

     这个值就是概率论中的加权平均值，即期望值，所以平均时间复杂度的全称就是加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。
     引入概率之后，上述代码的加权平均值为(3n+1)/4。用 大O 表示法表示，去掉系数和常量，这段代码的加权平均时间复杂仍然是 O(n)。
     很多时候，并不需要区分最好、最坏、平均时间复杂度三种情况。很多时候，只用一种复杂度就可以满足需求。只有同一块代码在不同的情况下，时间复杂度有量级的差距，才会使用这三种复杂度表示法来区分。

1.3 均摊时间复杂度

     均摊时间复杂度，一种更加高级的概念，它对应的分析方法，摊还分析(平摊分析) 。
     均摊时间复杂度，听起来与平均时间复杂度有点像。长容易混淆，大部分情况下，并不需要区分最好、最坏、平均时间复杂度。平均复杂度只有在某些特殊情况下才会用到，而均摊时间复杂度应用的场景比它更加特殊、更加有限。

// array 表示一个长度为 n 的数组
// 代码中的 array.length 就等于 n
int[] array = new int[n];
int count = 0;

void insert(int val) {
   if (count == array.length) {
      int sum = 0;
      for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
         sum = sum + array[i];
      }
      array[0] = sum;
      count = 1;
   }

   array[count] = val;
   ++count;
}

      上述代码实现了一个往数组中插入数据的功能。当数组满了之后，也就是代码中的 count == array.length 时，用for循环遍历数组求和，并清空数组，将求和之后的 sum 值放到数组的第一个位置，然后再讲新的数据插入。但如果数组一开始就有空闲空间，则直接将数据插入数组。
      最理想的情况下，数组中有空闲空间，只需要将数据插入到数组下表为 count 的为位置就可以了，所以最好情况时间复杂度为 O(1)。最坏的情况，数组中没有空闲空间了，需要先做一次数组的遍历求和，然后再将数据插入，所以最坏情况时间复杂度为 O(n)。

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     平均时间复杂度呢？
     假定数组的长度是 n,根据数据插入的位置的不同，就可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度都是 O(1),除此之外，还有一种“额外“的情况，就是数组在没有空闲空间时插入一个数据，这个时候的时间复杂度是 O(n)。而且，这 n+1 种情况发生的概率是一样的，即 1/(n+1)。所以，根据加权平均计算方法，求得的平均情况时间复杂度：

     这个例子的平均时间复杂度其实并不需要这么复杂，并不需要引入概率论的知识。由对比得知，insert() 的例子和 上面的那个 find() 的列子，会发现二者有很大的差别。
     首先，find() 函数在极端情况下，时间复杂度采薇 O(1)。但是 insert() 在大部分情况下，时间复杂度都为 O(1)。只有个别情况下，复杂度才比较高，为 O(n)。这是 insert() 第一个区别于find() 的地方。
     第二个，对于 insert() 函数来说，O(1) 时间复杂度的插入和 O(n) 时间复杂度的插入，出现的频率是非常有规律的，而且有一定的前后时序关系，一般都是一个 O(n) 插入之后，后面紧跟着 n-1 个 O(1) 的插入操作，循环往复。
     针对这种特殊场景的复杂度分析，并不需要像之前将平均时间复杂度分析方法那样，找出所有的输入情况以及相应的发生概率，然后在计算加权平均值。
     由此，引入了一种更加简单的分析方法：摊还分析法，通过摊还分析得到的时间复杂度：均摊时间复杂度。
     如何用摊还分析发来分析算法的均摊时间复杂度呢？
     继续啊观看数组插入数的这个例子，每一次 O(n) 的插入操作，都会跟着 n-1 次 O(1) 的插入操作，所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上，均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)。
     均摊时间复杂度和摊还分析应用场景比较特殊，所以并不会经常用到，为了方便理解，简单总结他们的应用场景。
     对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下的时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个时候，就可以将一组操作放在一块儿分析，看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好时间复杂度。

2 总结

一、复杂度分析的4个概念
1.最坏情况时间复杂度：代码在最理想情况下执行的时间复杂度。
2.最好情况时间复杂度：代码在最坏情况下执行的时间复杂度。
3.平均时间复杂度：用代码在所有情况下执行的次数的加权平均值表示。
4.均摊时间复杂度：在代码执行的所有复杂度情况中绝大部分是低级别的复杂度，个别情况是高级别复杂度且发生具有时序关系时，可以将个别高级别复杂度均摊到低级别复杂度上。基本上均摊结果就等于低级别复杂度。

二、为什么要引入这4个概念？
1.同一段代码在不同情况下时间复杂度会出现量级差异，为了更全面，更准确的描述代码的时间复杂度，所以引入这4个概念。
2.代码复杂度在不同情况下出现量级差别时才需要区别这四种复杂度。大多数情况下，是不需要区别分析它们的。

三、如何分析平均、均摊时间复杂度？
1.平均时间复杂度
代码在不同情况下复杂度出现量级差别，则用代码所有可能情况下执行次数的加权平均值表示。
2.均摊时间复杂度
两个条件满足时使用：1）代码在绝大多数情况下是低级别复杂度，只有极少数情况是高级别复杂度；2）低级别和高级别复杂度出现具有时序规律。均摊结果一般都等于低级别复杂度。

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3 试试分析下面 add()函数

// 全局变量，大小为 10 的数组 array，长度 len，下标 i。
int array[] = new int[10]; 
int len = 10;
int i = 0;

// 往数组中添加一个元素
void add(int element) {
   if (i >= len) { // 数组空间不够了
     // 重新申请一个 2 倍大小的数组空间
     int new_array[] = new int[len*2];
     // 把原来 array 数组中的数据依次 copy 到 new_array
     for (int j = 0; j < len; ++j) {
       new_array[j] = array[j];
     }
     // new_array 复制给 array，array 现在大小就是 2 倍 len 了
     array = new_array;
     len = 2 * len;
   }
   // 将 element 放到下标为 i 的位置，下标 i 加一
   array[i] = element;
   ++i;
}

1. 最好情况时间复杂度为 O(1)
2.最坏情况分析：
最坏情况代码执行的次数跟每次数组的长度有关
第1次调用insert的执行的次数为 n ,
第2次调用insert的执行的次数为 2n ,
第3次调用insert的执行的次数为 2^2 * n
第k次调用insert的执行的次数为 2^(k-1) * n
最坏时间复杂度为 O(n)。
3. 平均情况分析
当每次遇到最坏情况时数组会进行2倍扩容，原数组被导入新数组，虽然数组的长度变大了，但是插入操作落在的区间的长度是一样的，分别是0len-1, len(2len-1),….；
插入的情况仍是len+1种：0~len-1和插满之后的O(len)；所以每次插入的概率是：p= 1/len+1，
最后求出加权平均时间复杂度为 1p + 2p+ ▪▪▪ + len*p + len * p = O(1) ;
4. 均摊时间复杂度 O(1)
而均摊复杂度由于每次O(len)的出现都跟着len次O(1)，是前后连贯的，因而将O(len)平摊到前len次上，得出平摊复杂度是O(1)